Propriétés de la multiplication des matrices

Propriétés

Sous réserve de compatibilité des tailles des matrices, la matrice identité joue le rôle d’élément neutre. Il y a associativité et distributivité à droite et à gauche, mais la multiplication des matrices n’est pas commutative en général, c’est-à-dire que, en général, \(AB\ne{BA}\) . Et parfois, ce n’est pas parce qu’on sait calculer  \(AB\) qu’on sait calculer \(BA\) .

Remarque

\(\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\end{pmatrix}\) n'existe pas, car le nombre de colonnes de la première matrice (3) n'est pas égal au nombre de lignes de la deuxième matrice (2).

En revanche :  \(\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}\)  existe, car la première matrice possède 3 colonnes et la deuxième matrice possède 3 lignes. Ce produit vaut  \(\begin{pmatrix}19\\35\end{pmatrix}\) .

Remarque

Attention, on peut avoir \(AB = 0\) sans avoir  \(A=0\) ou \(B=0\) .

Contre-exemple

\(\begin{matrix}&\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix}\\\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}\end{matrix}\)

Et donc, écrit de façon plus conventionnelle :

\(\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}\)

Remarque 

Le produit scalaire de deux vecteurs  \(u\) et  \(v\) à  \(n\) coordonnées correspond au produit  \(u^Tv\) si on assimile les vecteurs à leurs coordonnées.